Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ln

x

2

+

1

2

的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）

• A、2
• B、2+ln2
• C、e²+

  1

  2

• D、2e-ln

  3

  2

Answer 1

分析：由题意，A（lnm，m），B（2em-

1

2

，m），其中2em-

1

2

＞lnm，且m＞0，表示|AB|，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值．

解答：解：由题意，A（lnm，m），B（2em-

1

2

，m），其中2em-

1

2

＞lnm，且m＞0，
∴|AB|=2em-

1

2

-lnm，
令y=2ex-

1

2

-lnx（x＞0），则y′=2ex-

1

2

-

1

x

，
∴x=

1

2

，
∴0＜x＜

1

2

时，y′＜0；x＞

1

2

时，y′＞0，
∴y=2ex-

1

2

-lnx（x＞0）在（0，

1

2

）上单调递减，在（

1

2

，+∞）上单调递增，
∴x=

1

2

时，|AB|_max=2+ln2．
故选：B．

点评：本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．