Question

已知椭圆 的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在.

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，点到直线的距离公式、垂径定理、两圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的左焦点坐标、离心率联立得到椭圆的基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先利用点到直线的距离公式计算出点到直线的距离，再利用垂径定理求出圆的半径，从而得到圆的具体方程，假设圆上存在点P满足条件，利用两点间距离公式列出方程，经整理得到一个新的圆，利用2个圆心的距离和半径的关系判断出2个圆相交，所以说明存在两个不同的点P.
试题解析：因为直线的方程为，
令，得，即                1分
∴ ，又∵，∴  ，
∴ 椭圆的方程为.              ４分
（2）存在点P，满足
∵ 圆心到直线的距离为，
又直线被圆截得的弦长为，
∴由垂径定理得，
故圆的方程为.           ８分
设圆上存在点，满足即，
且的坐标为，
则，
整理得，它表示圆心在，半径是的圆。
∴                １２分
故有，即圆与圆相交，有两个公共点。
∴圆上存在两个不同点，满足.        １４分