Question

已知函数，
（Ⅰ）求的单调区间和值域；
（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在使得成立，求的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）的单调递减区间为，的单调递增区间为，
的值域为[-4，-3]
（Ⅱ）

【错解分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解不
等式的运算能力。第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数在区间上的值域
是函数的值域的子集，从而转化为求解函数在区间上的值域。
【正解】(Ⅰ) ，令解得或,在，所以为单调递减函数；在，所以为单调递增函数；又，即的值域为[-4，-3]，所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，的值域为[-4，-3].( 单调区间为闭区间也可以).
（Ⅱ）∵,又，当时，，
因此，当时，为减函数，从而当时，有.
又，即当时，有，
任给，有，存在使得，
则又，所以的取值范围是。
【点评】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。