Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）讨论函数在上的单调性；

（Ⅱ）判断当时，与的图象公切线的条数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，函数在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）两条，理由见解析.

【解析】

（Ⅰ）对函数进行求导，然后分类讨论，根据导函数的正负性求出函数的单调区间；

（Ⅱ）利用导数的几何意义求出与的图象的切线，将两个切线方程联立，消元得到一个方程，根据方程解的个数就能确定公切线的条数，构造新函数，利用新函数的导数，结合零点存在原理进行求解即可.

（I），

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，由得：；由得：

所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增.

（Ⅱ）函数在点处的切线方程为，

即，

函数在点处的切线方程为，即.

若与的图象有公切线.

则

由①得代入②整理得

③

由题意只须判断关于的方程在上解的个数

令

令，解得

		0
	单调递减	极小值	单调递增

且图象在上连续不断

方程在及上各有一个根

即与的图象有两条公切线.