Question

已知定点N（1，0），动点A、B分别在图中抛物线y²=4x及椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的实线部分上运动，且AB∥x轴，则△NAB的周长L的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据抛物线方程和椭圆方程分别求得他们的准线方程，设出A，B的坐标，过A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4，根据抛物线和椭圆的定义求得|NA|=|AH|=x₁+1，|NB|=|BH|•

1

2

=

4-x2

2

，进而表示出三角形周长，化简整理后，求得周长L关于x₂的表达式，联立抛物线和椭圆方程求得两曲线的交点，判断出x₂的范围，进而确定L的范围．

解答：解：依题意可知抛物线准线为x=-1
椭圆右准线为x=4
设A（x₁，y） B（x₂，y）
过A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4
由圆锥曲线第二定义
|NA|=|AH|=x₁+1
|NB|=|BI|•

1

2

=

4-x2

2

L=x₁+1+x₂-x₁+

4-x2

2

=

x2+6

2

联立抛物线和椭圆方程求得x=

2

3

或-6（舍负）
∴

2

3

≤x₂≤2
∴

10

3

≤

x2+6

2

≤4
即L的取值范围是（

10

3

，4）
故答案为（

10

3

，4）

点评：本题主要考查了椭圆和抛物线的应用．考查了学生转化和化归的思想，数形结合的思想．