Question

设f（x）=sin（2x+φ），若f（x）≤f（）对一切x∈R恒成立，则：
①f（-）=0；
②f（x）的图象关于点（，0）对称；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）
以上结论正确的是    （写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

【答案】分析：根据题意可算出函数表达式为：f（x）=sin（2x++2kπ）．通过表达式计算函数值，可得①②都是真命题；根据函数图象的对称性，结合函数奇偶性的图象特征，可得③是假命题；根据正弦函数单调区间的公式，计算得f（x）的单调递增区间不是[kπ+，kπ+]（k∈Z），得④是假命题．
解答：解：∵f（x）≤f（）对一切x∈R恒成立，
∴f（x）=sin（2x+φ）在x=时取得最大值，即2×+φ=+2kπ，k∈Z，得φ=+2kπ，k∈Z，
因此函数表达式为：f（x）=sin（2x++2kπ）
因为f（-）=sin[2×（-）++2kπ]=sin2kπ=0，所以①是真命题；
∵f（）=sin（2×x++2kπ）=sin（π+2kπ）=0，
∴x=是函数y=f（x）的零点，得点（，0）是函数f（x）图象的对称中心，故②是真命题；
∵函数y=f（x）的图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称
∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数，得③是真命题；
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，得-+kπ≤x≤+kπ，
∴f（x）的单调递增区间是[-+kπ，+kπ]（k∈Z），故④是假命题．
由以上的讨论，可得正确命题为①②③，共三个
故答案为：①②③
点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了三角函数的单调性、图象的对称性、函数的最值和零点等知识，属于中档题．