Question

【题目】如图，在直角坐标中，设椭圆的左右两个焦点分别为，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.

(1)求椭圆的方程；

(2>已知经过点且斜率为直线与椭圆有两个不同的和交点,请问是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) （2）不存在常数，使得向量与共线．

【解析】试题分析：(1)由过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为 ，可得 ，再根据椭圆的定义以及勾股定理列方程求得 从而得 ，进而可得椭圆的标准方程；（2）直线的方程为与椭圆方程联立，可得，由，解得， 与共线等价于，根据韦达定理以及向量的坐标运算法则可得关于的方程，解得，从而可得结论.

试题解析：(1)由椭圆定义可知.

由题意,.

又由△可知 ，,，

又，得.

椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，

代入椭圆方程，得．

整理，得 ①

因为直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，

解得．

设,则＝,

由①得 ②

又③

因为， 所以．

所以与共线等价于．

将②③代入上式，解得．

因为

所以不存在常数，使得向量与共线．