Question

【题目】已知曲线E上任一点P到直线l：x＝4的距离是点P到点M(1，0)的距离的2倍.

（1）求曲线E的方程；

（2）过点A(2，0)作两条互相垂直的直线分别交曲线E于B、D两点(均异于点A)，又C(－2，0)，求四边形ABCD的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设，结合题意得到，化简即可求得曲线的方程；

（2）设的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，进而得到，利用面积公式，求得四边形的不等式，结合函数的单调性，即可求解.

（1）设，

因为曲线E上任一点P到直线l：x＝4的距离是点P到点M(1，0)的距离的2倍，

即，两边平方并整理得

即曲线的方程为.

（2）由题意，可得直线的斜率存在且不为0，可设的方程为，

联立方程组，整理得，

因为是其一个根，所以解得另一根即点的横坐标为，

因为，所以把换成得的横坐标为，

则、的纵坐标之差为，

所以四边形的面积

令，则，可得（），

又由函数在是增函数，

所以可得当时为单调递减，所以时，取得最大值，

此时，解得，

所以四边形的面积的最大值为.