Question

【题目】已知椭圆： 的两个焦点分别为， ，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆相交于异于的不同两点，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】试题分析：（1）由焦点坐标确定出的值，根据椭圆的性质列出与的方程，再将点坐标代入椭圆方程列出关于与的方程，联立求出与的值，从而确定椭圆方程；（2）由题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为， ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及两点间距离公式求得，再求出点到直线的距离，表示出的面积，构造函数，根据函数的单调性即可求出最大值.

试题解析：（1）由题意，焦距，

∴

∴椭圆：

又椭圆经过点

∴，

解得或（舍去）

∴

∴椭圆的标准方程为.

（2）由（1），得点

由题意，直线的斜率不等于0，设直线的方程为， .

联立消去，得.

∴， ， ，

∵，

化简，得

又点到直线的距离为，

∴的面积

令，

则

而函数在时单调递增，

∴在时单调递减，

∴当即时， 的面积有最大值.