Question

4．在△ABC中，已知a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且满足2acosB+ccosB+bcosC=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{13}$，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）使用余弦定理将角化边，整理出a，b，c的关系，代入余弦定理解出cosB；
（2）使用余弦定理解出ac，代入面积公式计算．

解答 解：（1）2acosB+ccosB+bcosC=0，
∴2a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+c×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+b×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=0，
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{c}+a=0$，即a²+c²-b²=-ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$．
∴B=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵a+c=4，∴a²+c²=16-2ac．
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3-2ac}{2ac}=-\frac{1}{2}$．
解得ac=3．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了余弦定理在解三角形中额应用，属于中档题．