Question

若点O和点F分别为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则

OP

•

FP

的取值范围．

Answer 1

分析：根据椭圆的方程算出椭圆的左焦点为F（-1，0），设P（x，y），求得

OP

、

FP

的坐标，利用向量数量积的坐标公式建立

OP

•

FP

关于x、y的表达式，结合椭圆的方程化简，利用二次函数的性质即可算出答案．

解答：解：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中，a²=4，b²=3，可得c=

a2-b2

=1．
∵点P为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上的任意一点，
∴设P（x，y），则-2≤x≤2，
∵椭圆的左焦点为F（-1，0），∴

OP

=（x，y），

FP

=（x+1，y），
可得

OP

•

FP

=x（x+1）+y²=x²+x+3（1-

1

4

x²）
=

1

4

x²+x+3=（

1

2

x+1）²+2，
∵-2≤x≤2，得0≤

1

2

x+1≤2，
∴0≤（

1

2

x+1）²≤4，可得2≤（

1

2

x+1）²+2≤6．
即

OP

•

FP

的取值范围为[2，6]．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查平面向量数量积的坐标运算，考查转化思想与解决问题的能力，属于中档题．