Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点．
（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由已知条件证明∴△ADB为等边三角形，AB⊥DE，易证AB⊥PD，得到AB⊥面PED，进而证明面PED⊥面PAB．
（2）先由二面角的定义找出二面角的平面角，把二面角的平面角放在一个三角形中，求出此角的余弦值．
解答：（1）证明：连接BD．∵AB=AD，∠DAB=60°，∴△ADB为等边三角形．
∵E是AB中点，∴AB⊥DE．（2分）∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴AB⊥PD．
∵DE?面PED，PD?面PED，DE∩PD=D，∴AB⊥面PED． （4分）
∵AB?面PAB，∴面PED⊥面PAB．  （6分）

（2）解：∵AB⊥平面PED，PE?面PED，∴AB⊥PE．
连接EF，∵EF?PED，∴AB⊥EF．∴∠PEF为二面角P-AB-F的平面角．（9分）
设AD=2，那么PF=FD=1，DE=．
在△PEF中，PE=，
∴，
即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为（12分）
点评：本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．