Question

在等腰梯形ABCD中，AB=3，AD=BC=2，CD=1，E为AB上的点且AE=1，将△AED沿DE折起到A₁ED的位置，使得二面角A₁-CD-E的平面角为30°．
（1）求证：DE⊥A₁B；
（2）求二面角B-A₁C-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件与图，可先证DE⊥面A₁EB再有线面垂直证DE⊥A₁B；
（2）如图建立空间直角坐标系，设E₁A与X轴所的角为θ，给出各点的坐标，设出两个半平面的法向量，由公式求出两个半平面的法向量，再由公式求出二面角B-A₁C-D的余弦值

解答：解：（1）证明：如左图，因为在等腰梯形ABCD中，AB=3，CD=1，AE=1，所以DE⊥AB，∴如右图中，DE⊥A₁E，DE⊥BE，∴DE⊥面A₁EB，故DE⊥A₁B，
（2）如图建立空间直角坐标系，设E₁A与X轴所的角为θ，则A₁（cosθ，-sinθ，0），B（0，2，0），C（0，1，

3

）D（0，0，

3

），设平面A₁CD的法向量为

n1

=（x，y，z），平面BCDE的法向量为

n2

=（1，0，0），则

A1C • n1 =-xcosθ+y(1+sinθ)=0 CD • n1 =y=0

令z=1，则

n1

=（

3

cosθ

，0，1），∵cos＜

n1

，

n2

＞=

3

2

，∴

| 3 cosθ |

1+ 3 cos 2θ

=

3

2

，解得cosθ=1，即θ=0
此时，点A1在X轴上，A1（1，0，0），

A1C

=（-1，2，0），

n1

=（

3

，0，1），设平面A1BC的法向量为

n3

=（x，y，z），则

A1B • n3 =-x+2y=0 A1C • n3 =-x+y+ 3 z=0

，令y=1，得

n3

=（2，1，

3

3

），故cos＜

n1

，

n3

＞=

n1 • n3

| n1 || n3 |

=

7

8

结合图形，可得二面角B-A1C-D为钝角，故二面角的余弦值为-

7

8

点评：本题考查二面角的平面角的求法，做题的关键是熟练掌握向量法求二面角的公式与步骤，利用向量法求二面角是向量的一个重要运用，向量的引入，为立体几何中二面角求解带来了极大的方便，题后应注意总结此法求二面角的规律．