Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，

π

2

），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂，则（　　）

• A、随着角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂为定值
• B、随着角度θ的增大，e₁减小，e₁e₂为定值
• C、随着角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂也增大
• D、随着角度θ的增大，e₁减小，e₁e₂也减小

Answer 1

分析：连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=

c

a

可表示出e₁=

2

1-cosθ -1

，最后根据余弦函数的单调性可判断e₁的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e₂的关系式，最后令e₁、e₂相乘即可得到e₁e₂的关系．

解答：解：连接BD，AC设AD=t
则BD=

t2+4t2-2•t•2tcosθ

=

5t2-4t2cosθ

∴双曲线中a=

5t2-4t2cosθ -t

2

e₁=

t

5t2-4t2cosθ -t 2

∵y=cosθ在（0，

π

2

）上单调减，进而可知当θ增大时，y=

t

5t2-4t2cosθ -t 2

=

2

1-cosθ -1

减小，即e₁减小
∵AC=BD
∴椭圆中CD=2t（1-cosθ）=2c∴c'=t（1-cosθ）
AC+AD=

5t2-4t2cosθ

+t，∴a'=

1

2

（

5t2-4t2cosθ

+t）
e₂=

c′

a′

=

t(1-cosθ)

1 2 ( 5t2-4t2cosθ +t)

∴e₁e₂=

t

5t2-4t2cosθ -t 2

×

t(1-cosθ)

1 2 ( 5t2-4t2cosθ +t)

=1
故选B．

点评：本题主要考查椭圆和双曲线的离心率的表示，考查考生对圆锥曲线的性质的应用，圆锥曲线是高考的重点每年必考，平时要注意基础知识的积累和练习．