Question

【题目】已知函数和（为常数）的图象在处有公切线.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的极大值和极小值；

（Ⅲ）关于x的方程由几个不同的实数解？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的极大值为，的极小值为；（Ⅲ）方程有2个实数解.

【解析】试题分析：（1）先对两个函数求导，再由题目条件知，f′（3）=g′（3）从而建立关于a的方程，可求得a的值．
（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，通过探讨导数的符号得函数的单调性，即可的函数的极大值和极小值．
（3）由（2）可得结论．

试题解析：

（Ⅰ），，

函数，的图象在处有公切线.

∴，即，∴.

（Ⅱ）由题知，又，∴，∴.

,

∴ .

令，则或.

∴当或时，单调递增，当时，单调递减.

∴的极大值为，的极小值为.

（Ⅲ）根据题意，方程实数解的个数即为函数的零点个数.

又，

，

，结合（Ⅱ），有2个零点.

方程有2个实数解.