Question

若不等式m+

-x2-2x

≤x+1对x∈[-2，0]恒成立，则实数m的取值范围是

m≤-

2

．

Answer 1

分析：不等式变形为

-x2-2x

≤x+1-m．两边边具有明显的几何意义：半圆和直线．令f（x）=

-x2-2x

，g（x）=x+1-m．则在同一坐标系内f（x）图象应在g（x）图象下方．利用直线与圆的位置关系求解．

解答：解：不等式即为

-x2-2x

≤x+1-m．
令f（x）=

-x2-2x

=

-(x+1)2+1

，g（x）=x+1-m．
则在同一坐标系内f（x）图象在g（x）图象下方．
如图所示：，f（x）图象是以（-1，0）为圆心，以1为半径的半圆（x轴上方部分），g（x）图象是一组随m变化的平行直线．
当直线和半圆相切时，由d=r得，

|-m|

2

=1，解得m=-

2

，当直线向上平移时，也满足条件．
所以实数m的取值范围是m≤-

2

．
故答案为：m≤-

2

．

点评：本题是不等式恒成立问题，一般转化为函数问题，这里采用了数形结合的思想方法．