Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

与向量

m

夹角为

3

4

π，且

m

•

n

=-1，
（1）求向量

n

；
（2）若向量

n

与向量

q

=（1，0）的夹角为

π

2

，向量

p

=（cosA，2cos²

c

2

），其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求|

n

+

p

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出向量

n

；通过向量的夹角与数量积的公式，求出夹角的余弦值，列出方程求出向量

n

（2）利用向量

n

与向量

q

=（1，0）的夹角为

π

2

，向量

p

=（cosA，2cos²

c

2

），结合三角形的内角和，A、B、C依次成等差数列，求出B，C与A的关系，利用二倍角与两角和与差的三角函数化简|

n

+

p

|的表达式，根据角的范围求出表达式的取值范围．

解答：解：（1）设

n

=（x，y）
则由＜

m

，

n

＞=

3

4

π得：cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

x+y

2 • x2+y2

=-

2

2

①
由

m

•

n

=-1得x+y=-1  ②
联立①②两式得

x=0 y=-1

或

x=-1 y=0

∴

n

=（0，-1）或（-1，0）
（2）∵＜

n

，

q

＞=

π

2

得

n

•

q

=0
若

n

=（1，0）则

n

•

q

=-1≠0
故

n

≠（-1，0）∴

n

=（0，-1）
∵2B=A+C，A+B+C=π
⇒B=

π

3

∴C=

2π

3

-A

n

+

p

=（cosA，2cos²

c

2

-1）
=（cosA，cosC）
∴|

n

+

p

|=

cos2A+cos2C

=

1+cos2A 2 + 1+cos2C 2

=

cos2A+cos2C 2 +1

=

cos2A+cos( 4π 3 -2A) 2 +1

=

cos2A- cos2A 2 - 3 2 sin2A 2 +1

=

1 2 cos2A- 3 2 sin2A 2 +1

=

cos(2A+ π 3 ) 2 +1

∵0＜A＜

2π

3

∴0＜2A＜

4π

3

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

∴-1≤cos（2A+

π

3

）＜

1

2

∴|

n

+

p

|∈[

2

2

，

5

2

）

点评：本题考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，以及函数值的范围的确定，考查计算能力，转化思想．