题目内容

在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=4，则 $数学公式$ 的最小值是________．

-8
分析：由M为BC的中点可得 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cosπ，设 $\text{[math]}$ =x，由于AM=4，故 $\text{[math]}$ =4-x，x∈（0，4），可得 $\text{[math]}$ cosπ=-2x（4-x）=2x²-8x，由二次函数的最值求法可得结果．
解答：

解：如图所示：
∵M为BC的中点∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ cosπ，设 $\text{[math]}$ =x，由于AM=4，故 $\text{[math]}$ =4-x，x∈（0，4）
故 $\text{[math]}$ cosπ=-2x（4-x）=2x²-8x，
故当x= $\text{[math]}$ =2时，上式取到最小值-8．
故答案为：-8
点评：本题为向量的数量积的最值的求解，把问题转化为二次函数区间的最值是解决问题的关键，属中档题．

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