题目内容
（2012•湖北模拟）等比数列{an}为递增数列的一个充要条件是（ ）
分析：根据题意，设数列前三项，“a1，a2，a3”，数列{an}是递增数列，则一定有a1＜a2＜a3，可以根据等比数列的性质、等比数列前n项和公式和根据充分必要条件的定义进行一一判断，从而求解；
解答：解：A、∵{an}是等比数列，
则由“a1＜a2＜a3”可得数列{an}是递增数列，故充分性成立．
若数列{an}是递增数列，则一定有a1＜a2＜a3，故必要性成立．
综上，“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条件，
故A正确；
B、若“a1＜a3＜a5”
则q2＞1，q＞1或q＜-1，若q＞1此时“数列{an}是递增数列”成立，若q＜-1时，数列{an}不是递增数列，故B错误；
C、数列{an}的前n项和为Sn，故 Sn =a1+a2+a3+…+an，
若数列{an}是递增数列，则数列{Sn}不一定是递增数列，如当an＜0 时，数列{Sn}是递减数列；
由数列{Sn}是递增数列，不能推出数列{an}的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…，
满足{Sn}是递增数列，但不满足等比数列{an}，故C错误；
D、若等比数列首项为正数，且公比大于1，可以推出等比数列{an}为递增数列；
若等比数列{an}为递增数列，可以取a1＜0，0＜q＜1，∴an＜0，
=
=q＜1，∴an＜an+1，则满足{an}是递增数列，
不需要首项为正数，公比q大于1，故D错误；
故选A；
则由“a1＜a2＜a3”可得数列{an}是递增数列，故充分性成立．
若数列{an}是递增数列，则一定有a1＜a2＜a3，故必要性成立．
综上，“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条件，
故A正确；
B、若“a1＜a3＜a5”
则q2＞1，q＞1或q＜-1，若q＞1此时“数列{an}是递增数列”成立，若q＜-1时，数列{an}不是递增数列，故B错误；
C、数列{an}的前n项和为Sn，故 Sn =a1+a2+a3+…+an，
若数列{an}是递增数列，则数列{Sn}不一定是递增数列，如当an＜0 时，数列{Sn}是递减数列；
由数列{Sn}是递增数列，不能推出数列{an}的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…，
满足{Sn}是递增数列，但不满足等比数列{an}，故C错误；
D、若等比数列首项为正数，且公比大于1，可以推出等比数列{an}为递增数列；
若等比数列{an}为递增数列，可以取a1＜0，0＜q＜1，∴an＜0，
| an+1 |
| an |
| a1qn |
| a1qn-1 |
不需要首项为正数，公比q大于1，故D错误；
故选A；
点评：本题考查充分条件、必要条件的定义，递增数列的定义，判断充分性是解题的难点，此题是一道综合题，属于基础题．
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