Question

已知椭圆的右顶点为A，右焦点为F，直线与x轴交于点B且与直线交于点C，点O为坐标原点，，，过点F的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，点P为点M直线的对称点
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：N、B、P三点共线；
（3）求△BMN的面积．的最大值．

Answer 1

（1）解：因为，，
所以且，
所以a=2，c=1
所以，
所以椭圆方程为：
（2）证明：设直线l：y=k（x﹣1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则由，消去y
得（3+4k²）x﹣8k²x+4k²﹣12=0，
所以
由于P（8﹣x₁，y₁），，
因为（4﹣x₁）y₂﹣（x₂﹣4）y₁
=4（y₁+y₂）﹣x₁y₂﹣y₁x₂
=4k（x₁+x₂﹣2）﹣2kx₁x₂+k（x₁+x₂）
=
当l⊥x轴时，也满足故共线，所以N、B、P三点共线
（3）解：记d为B到l的距离，则，
，
所以=
当l⊥x轴时，，
所以△BMN的面积的最大值为