Question

（2012•浦东新区二模）已知数列{a_n}（n∈N^*），首项a₁=

5

6

，若二次方程a_nx²-a_n+1x-1=0的根α、β满足α-αβ+β=1，则数列{a_n}的前n项和S_n=-

1

2

n2+

1

3

n．

Answer 1

分析：根据一元二次方程根与系数之间的关系，得到两根之和与两根之积，代入所给的关系式，整理出数列两项之间的关系，得到数列是一个等差数列，根据首项和公差得到前n项和．

解答：解：∵二次方程a_nx²-a_n+1x-1=0的根α、β满足α-αβ+β=1，
∴α+β=

an+1

an

，αβ=-

1

an

，
∴

an+1

an

+

1

an

=1，
∴

an+1+1

an

=1，
∴a_n+1-a_n=-1，
∴数列{a_n}是一个公差是-1的等差数列，
∴sn=-

1

2

n2+

1

3

n，
故答案为：sn=-

1

2

n2+

1

3

n

点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差关系的确定．考查了学生对等差数列的定义和前n项和的理解和把握，本题是一个中档题目．