Question

设f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（t-x），a＞0且a≠1，且F（x）=f（x）-g（x）是奇函数．
（1）若a=2，解关于x的不等式
（2）判断F（x）的单调性，并证明．

Answer 1

解：（1）∵a=2，∴关于x的不等式，
即 ＞，
∴＞＞0，
∴，，，
解得 x＞3，或 0＜x＜1，故不等式的解集为{x|x＞3，或 0＜x＜1 }．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（t-x）= 是奇函数，
故有 F（0）=0=，∴t=1，∴F（x）=．
由 ＞0 解得-1＜x＜1，故F（x）的定义域为（-1，1）．
由于h（x）= 在（-1，1）上单调递增，故当a＞时，F（x）单调递增；当0＜a＜1时，F（x）单调递减．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，
∵h（x₁）-h（x₂）=-==，
由-1＜x₁＜x₂＜1，可得2x₁-2x₂＜0，（1-x₁）（1-x₂）＞0，
∴＜0，h（x₁）＜h（x₂），故h（x）= 在定义域（-1，1）上单调递增，
故当a＞时，F（x）单调递增；当0＜a＜1时，F（x）单调递减．
分析：（1）由a=2 可得不等式即 ＞，从而得＞＞0，解不等式组求得不等式的解集．
（2）由题意可得F（0）=0=，求得t=1，从而F（x）=，由于h（x）= 在（-1，1）上单调递增，故当a＞时，F（x）单调递增；当0＜a＜1时，F（x）单调递减，利用单调性的定义进行证明．
点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，函数的单调性的判断和证明，以及函数的奇偶性的应用，属于中档题．