题目内容

设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，对于任意的n∈N+，an，Sn，an2成等差数列，设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=
lnnx
an2
，则对任意的实数x∈（1，e]（e是自然对数的底）和任意正整数n，Tn小于的最小正整数为（　　）
A．1B．2C．3D．4
根据题意，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列，则对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+an-12（n≥2）②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12，即an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）；
∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列，
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1
∴an=n．（n∈N*）
对任意实数x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，
对于任意正整数n，总有bn=
lnnx
an2
≤
1
n2
，
∴Tn≤
1
12
+
1
22
+…+
1
n2
＜1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)×n
=1+1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
(n-1)
-
1
n
=2-
1
n
＜2
对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有Tn＜2
故Tn小于的最小正整数为2
故选B
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn为数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）求证：an2=2Sn-an；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=3n+（-1）n-1λ•2an（λ为非零整数，n∈N*）试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．
设数列{an}的各项都是正数，Sn是其前n项和，且对任意n∈N*都有an2=2Sn-an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=（2n+1）2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
设数列{an}的各项均为正实数，bn=log2an，若数列{bn}满足b2=0，bn+1=bn+log2p，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1•a4•a7•…•a3n-2＞a16恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若p=2，设数列{cn}对任意的n∈N*，都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立，问数列{cn}是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．
设数列{an}的各项均为正数，它的前n项和为Sn，点（an，Sn）在函数y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
的图象上，数列{bn}的通项公式为bn=
an+1
an
+
an
an+1
，其前n项和为Tn．
（1）求an；   
（2）求证：Tn-2n＜2．
（2013•江苏一模）设数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，对于任意正整数m，n，Sm+n=
2a2m(1+S2n)
-1恒成立．
（1）若a1=1，求a2，a3，a4及数列{an}的通项公式；
（2）若a4=a2（a1+a2+1），求证：数列{an}成等比数列．

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