题目内容

已知：函数 $数学公式$
（1）求函数f（x）的最大值及此时x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且对f（x）定义域中的任意的x都有f（x）≤f（A），若a=2，求 $数学公式$ 的最大值．

解：（1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （2分）= $\text{[math]}$ （3分）
所以当 $\text{[math]}$ 时，f（x）取最大值3，
此时 $\text{[math]}$ （5分）

（2）由f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π）得到， $\text{[math]}$ （6分）
将 $\text{[math]}$ 代入b²+c²-a²=2bccosA可得 $\text{[math]}$ ，
又∵b²+c²≥2bc，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （8分）
∴ $\text{[math]}$
当且仅当b=c时 $\text{[math]}$ 最大，最大值为 $\text{[math]}$ （10分）
分析：（1）利用两角和与二倍角公式化简函数 $\text{[math]}$ 为： $\text{[math]}$ 然后求函数f（x）的最大值及此时x的值．
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且对f（x）定义域中的任意的x都有f（x）≤f（A），推出f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π），求出A，通过余弦定理，和基本不等式确定bc的范围，然后求出 $\text{[math]}$ 的表达式，即可求出它的最大值．
点评：本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示，基本不等式的应用，二倍角和两角和的正弦函数的应用是解题的关键，（2）是有难度的小综合题目，挖掘f（A）是f（x）的最大值，比较重要，灵活应用不等式求最值．