Question

已知椭圆C：的离心率为，且过点P（1，），F为其右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点A（4，0）的直线l与椭圆相交于M，N两点（点M在A，N两点之间），若△AMF与△MFN的面积相等，试求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆C：的离心率为，椭圆方程可化为，又点P（1，）在椭圆上，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x-4），与椭圆方程联立，借助于韦达定理，及△AMF与△MFN的面积相等，即可求得直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：的离心率为，
∴，所以a=2c，b=c．…（1分）
设椭圆方程为，又点P（1，）在椭圆上，所以，解得c=1，…（3分）
所以椭圆方程为．…（4分）
（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x-4），…（5分）
由，消去y整理，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，…（6分）
由题意知△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得．…（7分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则①，②．
因为△AMF与△MFN的面积相等，所以|AM|=|MN|，所以2x₁=x₂+4 ③…（10分）
由①③消去x₂得 ④
将x₂=2x₁-4代入②得x₁（2x₁-4）= ⑤
将④代入⑤，
整理化简得36k²=5，解得，经检验成立．…（12分）
所以直线l的方程为y=（x-4）．…（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程组，利用韦达定理求解．