Question

已知方程x²-8x+6lnx-m=0有三个不同的实数解，则实数m范围为______．

Answer 1

方程x²-8x+6lnx-m=0有三个不同的实数解
则函数m（x）=x²-8x+6lnx-m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵m（x）=x²-8x+6lnx-m，
∴?′(x)=2x-8+

6

x

=

2x2-8x+6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

(x＞0)，
当x∈（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x∈（0，3）时，m'（x）＜0，m（x）是减函数；
当x∈（3，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x=1，或x=3时，m'（x）=0．
∴m（x）_最大值=m（1）=-m-7，m（x）_最小值=m（3）=-m+6ln3-15．
∵当x充分接近0时，m（x）＜0，当x充分大时，m（x）＞0．
∴要使m（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

?(x)最大值=-m-7＞0 ?(x)最小值=-m+6ln3-15＜0

即6ln3-15＜m＜-7．
故答案为：6ln3-15＜m＜-7