Question

已知方程x²-8x+6lnx-m=0有三个不同的实数解，则实数m范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：遇到方程根的问题，一般是构造新函数，题目转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的最值，把函数的最值同0进行比较，得到结果．
解答：解：方程x²-8x+6lnx-m=0有三个不同的实数解
则函数m（x）=x²-8x+6lnx-m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵m（x）=x²-8x+6lnx-m，
∴，
当x∈（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x∈（0，3）时，m'（x）＜0，m（x）是减函数；
当x∈（3，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x=1，或x=3时，m'（x）=0．
∴m（x）_最大值=m（1）=-m-7，m（x）_最小值=m（3）=-m+6ln3-15．
∵当x充分接近0时，m（x）＜0，当x充分大时，m（x）＞0．
∴要使m（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
即6ln3-15＜m＜-7．
故答案为：6ln3-15＜m＜-7
点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．