Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（1，

3

2

），且离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F的动直线交椭圆于点A、B，设椭圆的左顶点为C连接CA、CB且交直线l：x=m于M、N，若以MN为直径的圆恒过右焦点F，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（1，

3

2

），且离心率e=

1

2

，建立方程组，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出

FM

=（m-

2

，

y1

x1+2

(x+2)）

FN

=（m-

2

，

y2

x2+2

(x+2)），结合以MN为直径的圆恒过右焦点F，可得方程，即可求m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（1，

3

2

），且离心率e=

1

2

∴

1 a2 + 9 4 b2 =1 a2-b2 a = 1 2

∴a²=4，b²=3
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
k存在时，设直线AB：y=k(x-

2

)，代入椭圆方程可得（2k²+1）x²-4

2

k2x+4k²-4=0
∴x1+x2=

4 2 k2

2k2+1

，x1x2=

4k2-4

2k2+1

∵CA：y=

y1

x1+2

(x+2)，∴M（m，

y1

x1+2

(x+2)）
∴

FM

=（m-

2

，

y1

x1+2

(x+2)）
同理，

FN

=（m-

2

，

y2

x2+2

(x+2)）
∵以MN为直径的圆恒过右焦点F，
∴（m-

2

）²-（m+2）²•

( 2 -1)2

2

=0
∴m=2

2

当k不存在时，△MNF为等腰直角△，∴M（m，m-

2

），A（

2

，1）
由C、B、M三点共线得到m=2

2

　
综上，m=2

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．