Question

已知四条直线a、b、c、d两两相交，但四线不共点，求证:a、b、c、d共面.

Answer 1

证明:（1）若其中任意三条直线不共点，

如图（1），不妨设相交直线a、b确定平面α且直线c与a、b分别交于点M、N，则有M∈α, N∈α,∴cα.

同理,可证dα.

∴a、b、c、d共面.

（2）若其中有三条直线共点，如图（2），不妨设a∩b∩c=Q且d∩a=M,d∩b=N,d∩c=P.

∵Qd,

∴点Q与直线d确定一个平面α.

∵Q∈α，M∈α,∴aα.

同理，bα,cα.

∴a、b、c、d共面.

小结:证明多条直线共面问题，常利用公理3或它的三个推论先确定一个平面，然后再证明其他直线也在此平面内（常用公理1），证明多点共线也有类似方法.如果构成图形的所有点都在一个平面内，那么这个图形叫做平面图形，本例中a、b、c、d构成一个平面图形.