Question

已知四条直线a、b、c、d两两相交，但四线不共点，求证：a、b、c、d共面．

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)若其中任意三条直线不共点，如图(1)，不妨设相交直线a、b确定平面a且直线c与a、b分别交于点M、N，则有M∈a，N∈a，∴ca．同理可证da．∴a、b、c、d共面． (2)若其中有三条直线共点，如图(2)，不妨设a∩b∩c=Q且d∩a=M，d∩b=N，d∩c=P．∵Qd，∴点Q与直线d确定一个平面a．∵Q∈a，M∈a，∴aa．同理，ba，ca． ∴a、b、c、d共面． 点评：证明多条直线共面问题，常利用公理3或它的三个推论先确定一个平面，然后再证明其他直线也在此平面内(常用公理1)，证明多点共线也有类似方法．如果构成图形的所有点都在一个平面内，这个图形叫做平面图形，本例中a、b、c、d构成一个平面图形．