Question

13．若函数f（x）=x•|2x-a|（a＞0）在区间[1，2]上的最小值为2，则a=5．

Answer 1

分析 由a＞0，结合y=f（x）的图象可得f（x）在[1，2]的最小值可以是f（1），或f（2），f（$\frac{a}{2}$）．分别计算求得a，将绝对值去掉，运用二次函数的对称轴和区间的关系，结合单调性，即可判断a的值．

解答 解：由a＞0，结合y=f（x）的图象可得f（x）在[1，2]的最小值
可以是f（1），或f（2），f（$\frac{a}{2}$）．
由f（$\frac{a}{2}$）=0，不成立；
由f（1）=|2-a|=2，解得a=0（舍去）或a=4，
当a=4时，f（x）=x|2x-4|在[1，2]，即有：f（x）=2x（2-x）在[1，2]递减，
可得f（1）取得最大值，且为2；
由f（2）=2|4-a|=2，解得a=3或a=5．
当a=3时，f（x）=x|2x-3|在[1，2]即为：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-2{x}^{2}，1≤x≤1.5}\\{2{x}^{2}-3x，1.5＜x≤2}\end{array}\right.$，
可得f（x）在[1，1.5]递减，在[1.5，2]递增，
即有f（1.5）=0为最小值，故a=3不成立；
当a=5时，f（x）=x|2x-5|在[1，2]即为：f（x）=x（5-2x），
可得f（x）在[1，$\frac{5}{4}$]递增，在[$\frac{5}{4}$，2]递减，
即有f（2）取得最小值，且为2，成立．
综上可得a=4或5．
故答案为：5．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题．