Question

【题目】已知、、为大于3的整数，将的立方体分割为个单位正方体，从一角的单位正方体起第层、第行、第列的单位正方体记为．求所有有序六元数组的个数，使得一只蚂蚁从出发，经过每个小正方体恰一次到达.（注）蚂蚁可以从一个单位正方体爬到另一个与之有公共面的相邻正方体．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

按照国际象棋棋盘的染色规则交替地将各个单位正方体染为黑色或白色，其中，为黑色．

当为偶数时，任两个异色的小正方体满足条件；当为奇数时，任两个黑色的小正方体满足条件．

首先证明三个引理．

引理l （i）在立方体中，异色的两个小正方体满足条件；

（ii）在立方体中，黑色的两个小正方体满足条件．

引理l的证明 由文[1]加试第四题可证．

引理2 在立方体中，

满足条件，其中，，即、异色．

引理2的证明 在第l层中，由引理l（i），有满足条件，其路径为…，

其为黑白相间的．则在立方体中，对，，用

……

代替，而不变．

【注】为同一层相邻，为不同层相邻．

故在立方体中，满足条件．

引理3 在立方体中，

满足条件，其中，，即、异色．

引理3的证明 在第l层中，由引理l（i），有（与异色）满足条件，取第2层中与相邻的小正方体为；类似有…，

其中，、分别为第层与、同色的小正方体

故在正方体中，满足条件．

回到原题．

（1）为偶数．

不妨设为偶数，异色的小正方体、分别在第、层（）．

若，则将立方体按层、层、层分成三部分，在上、下两部分应用引理2，在中间部分应用引理l（i）或引理3，得到在立方体中的路径

（、同引理3）．

若，则将立方体按层、层分成两部分，类似得在立方体中的路径

．

若，则将立方体按层、层、层分成三部分．

在第层，由引理l（i）有…．

取，则由引理2知在上、下两部分中分别有，满足条件．

从而，在立方体中有路径

………，其中，、分别为第层的小正方体

（2）为奇数．

若黑色的小正方体、在立方体的对角，则由引理l（ii），仿引理2可构造路径满足条件；否则，方体有一面不含、，且、到该面的投影不同．不妨设、，其中，、，．

将立方体先按第l层、第层分成两部分，再将后者按第行、第行分成两部分．

因为偶数，所以，由（1）知在后两部分内分别有，满足条件，其中，、为第2层中的白色小正方体．

在第l层中分别取与、相邻的黑色小正方体，记为、．由引理1（ii）知满足条件．

则立方体中有路径．

故当为奇数时，所求为； ’

当为偶数时，所求为．