Question

15．函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}+x+2}}$的单调增区间为[$\frac{1}{2}$，2]，值域为[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，1]．

Answer 1

分析 令函数t=$\sqrt{{-x}^{2}+x+2}$，则y=${（\frac{1}{2}）}^{t}$，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质求得t的减区间和值域，可得y的减区间和值域．

解答 解：函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}+x+2}}$的单调增区间，即函数t=$\sqrt{{-x}^{2}+x+2}$=$\sqrt{{-（x-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{9}{4}}$ 的减区间，y=${（\frac{1}{2}）}^{t}$．
由-x²+x+2≥0，求得-1≤x≤2，故函数t的定义域为[-1，2]．
再利用二次函数的性质可得函数t的减区间为[$\frac{1}{2}$，2]．
再根据0≤t≤$\frac{3}{2}$，可得 $\sqrt{\frac{1}{8}}$≤y≤1，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，2]；[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，1]．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．