Question

16．已知方程x²+y²-6x+2y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y-2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．

Answer 1

分析 （1）方程表示圆的时候有D²+E²-4F＞0，代入计算，即可求实数m的取值范围；
（2）以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x₁x₂+y₁y₂=0，利用根系关系，可得结论．

解答 解：（1）方程x²+y²-6x+2y+m=0，由圆的一般方程知识得D=-6，E=2，F=m
当此方程表示圆的时候有D²+E²-4F＞0
解之得m＜10．
（2）联立直线和圆的方程，消去x并化简整理得5y²+6y+m-8=0
设题中直线与圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则在上述方程判别式△＞0的前提下，
由根系关系得到y₁+y₂=-$\frac{6}{5}$，y₁y₂=$\frac{m-8}{5}$．
再由x=2-2y可得x₁+x₂=$\frac{32}{5}$，x₁x₂=$\frac{4m+12}{5}$
由以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x₁x₂+y₁y₂=0
即$\frac{4m+12}{5}$+$\frac{m-8}{5}$=0，解之得m=-$\frac{4}{5}$．验证此时△＞0成立．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查根系关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．