Question

18.如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y²=2px（p>0）于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点.

（Ⅰ）写出直线l的截距式方程；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）当a＝2p时，求∠MON的大小.

Answer 1

18.本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：直线l的截距式方程为

　　　　　　　　①

（Ⅱ）证明：由①及消去x可得

　　②

点M，N的纵坐标y₁，y₂为②的两个根，故

y₁+y₂=，y₁y₂=－2pa.

所以

（Ⅲ）解：设直线OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，

则k₁=，k₂=.

当a=2p时，由（Ⅱ）知，

由y₁²=2px₁，y₂²＝2px₂相乘得（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，

x₁x₂===4p²，

因此k₁k₂==＝－1，

所以OM⊥ON，即∠MON＝90°.