Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）求得时的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线方程；（Ⅱ）若对恒成立，即为对恒成立，设，求得导数和单调性、极大值即最大值，可得的范围；（Ⅲ）若存在零点，即关于的方程有解，可得有解，由的单调性，即可得证．

（Ⅰ）当时，，

所以，

所以切线方程为

（Ⅱ）对恒成立

等价于，即恒成立

设，则

由解得

与在区间上的情况如下

		0
	增	极大	减

所以函数的单调增区间是，单调减区间是.

函数在处取得极大值（也是最大值）

所以，即的取值范围是

（Ⅲ）若函数存在零点，则关于的方程有解，

即方程有解，

由（Ⅱ）可知函数的单调增区间是，单调减区间是，

因为，所以当时，，

又因为当时，，

所以若方程有解，则在上仅有一个解，

即若存在零点，则在上仅有一个零点.