Question

【题目】（文科选做）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_____。

（理科选做）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．

Answer 1

【答案】

【解析】（文科选做）如下图所示：

取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，

∵M、N、E、F为所在棱的中点，

∴MN∥BC1，EF∥BC1，

∴MN∥EF，

又MN平面AEF，EF平面AEF，

∴MN∥平面AEF；

∵AA1∥NE，AA1=NE，

∴四边形AENA1为平行四边形，

∴A1N∥AE，又A1N平面AEF，AE平面AEF，

∴A1N∥平面AEF，

又A1N∩MN=N，

∴平面A1MN∥平面AEF，

∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，

∴点P必在线段MN上。

在Rt△A1B1M中， ，

同理在Rt△A1B1N中，可求得，

∴△A1MN为等腰三角形，

当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M或N处时A1P最长，

又.

所以线段A1P长度的取值范围是．答案： 。