Question

【题目】已知椭圆： 的左焦点为， 为坐标原点，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于不同的两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求弦的中点的轨迹方程；

（3）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点， 为轴上一点，若是菱形的两条邻边，求点横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）已知椭圆： 的左焦点为，有，点在椭圆上，得，联立求出即得方程（2）设， ，则，当时， 点的坐标为. 当时，∵， ，点差法两式相减得，

∴，又过点，于是的斜率为，∴整理即可

（3）设， 的中点，由（2）知， ①

∵，∴.∴，即，整理得②将②代入①中，得，化为，

∵，∴，由得的范围，从而得m的范围.

试题解析：

（1）由题意有，且，解得，

∴椭圆的方程为.

（2）设， ，则，

当时， 点的坐标为.

当时，∵， ，

两式相减得，

∴，又过点，于是的斜率为，

∴，

整理得.

∵也满足上式，

∴的轨迹方程为.

（3）设， 的中点，由（2）知， ①

∵，

∴.

∴，即，整理得②

将②代入①中，得，化为，

∵，∴ ，

由（当时， 与轴垂直，不合题意，舍去），得，

于是，即点的横坐标的取值范围为.