Question

选修4－1：几何证明选讲

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD。

   （Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；

   （Ⅱ）若tan∠CED=,⊙O的半径为3，求OA的长。

Answer 1

（1）证明：如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB  ∴OC⊥AB

       ∴AB是⊙O的切线    ……………………………………4分

   （2）解：∵ED是直径，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°

       又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，

∴∠BCD=∠E

       又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC

       ∴  ∴BC²=BD•BE

       ∵tan∠CED=,∴

       ∵△BCD∽△BEC, ∴

       设BD=x,则BC=2

       又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x•（ x+6）

       解得：x₁=0,x₂=2, ∵BD=x>0, ∴BD=2

       ∴OA=OB=BD+OD=3+2=5   ……………………………………10分