Question

11．无穷等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q（q＞0），前n项和为S_n，求$\underset{lim}{n→∞}\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 当q=1时，可得$\underset{lim}{n→∞}\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{n+1}$=1．当q＞0，q≠1时，$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+1}）}{1-q}}$=$\frac{1-{q}^{n}}{1-{q}^{n+1}}$．对q分类讨论，利用数列极限的运算法则即可得出．

解答 解：当q=1时，S_n=na₁，S_n+1=（n+1）a₁，∴$\underset{lim}{n→∞}\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{n+1}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$=1．
当q＞0，q≠1时，$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+1}）}{1-q}}$=$\frac{1-{q}^{n}}{1-{q}^{n+1}}$．
∴当0＜q＜1时，$\underset{lim}{n→∞}\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1-{q}^{n}}{1-{q}^{n+1}}$=$\frac{1-0}{1-0}$=1．
当1＜q时，$\underset{lim}{n→∞}\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1-{q}^{n}}{1-{q}^{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{\frac{1}{{q}^{n}}-1}{\frac{1}{{q}^{n}}-q}$=$\frac{-1}{-q}$=$\frac{1}{q}$．
综上可得：$\underset{lim}{n→∞}\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，0＜q≤1}\\{\frac{1}{q}，q＞1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式其前n项和公式、数列极限的运算法则，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．