Question

已知函数，，其中，为自然对数的底数．
（1）若在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）求在上的最小值；
（3）试探究能否存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性？若能存在，说明区间的特点，并指出和在区间上的单调性；若不能存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2） 
（3）当时，不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；当时，存在区间，使得和在区间上均为减函数．

试题分析：（1）切点处的导数值，即为切线的斜率，根据在处的切线与直线垂直，斜率乘积为，建立的方程；
（2）遵循求导数、求驻点、讨论区间单调性、确定极值（最值）；
（3）求的定义域为，及导数 ．     
根据时，，知在上单调递减．
重点讨论的单调性．
注意到其驻点为，故应讨论：
①， ②的情况，作出判断．
综上，当时，不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；当时，存在区间，使得和在区间上均为减函数．
试题解析：（1），，
在处的切线与直线垂直，
                                                 3分
（2）的定义域为，且 ．
令，得．                                             4分
若，即时，，在上为增函数，；5分
若，即时，，在上为减函数，
；                                               6分
若，即时，
由于时，；时，，
所以
综上可知                               8分
（3）的定义域为，且 ．     
时，，在上单调递减．                      9分
令，得
①若时，，在上，单调递增，由于在上单调递减，所以不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；                                                            10分
②若时，，在上，单调递减；
在上，单调递增．由于在上单调递减，存在区间，使得和在区间上均为减函数．                                   
综上，当时，不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；当时，存在区间，使得和在区间上均为减函数．                                                                    13分