题目内容

a
，
b
是两个不共线的非零向量，且|
a
|=|
b
|=1且
a
与
b
夹角为120°．
（1）记
OA
=
a
，
OB
=t
b
，
OC
=
1
3
(
a
+
b
)，当实数t为何值时，∠ACB为钝角？
（2）令f(x)=|
a
-
b
sinx|，x∈[0，2π]，求f（x）的值域及单调递减区间．
分析：（1）由|
a
|=|
b
|=1且
a
与
b
夹角为120°．可得
a
•
b
=|
a
| |
b
|cos120°=-
1
2
．利用向量的运算法则可得
CA
=
OA
-
OC
=
2
3
a
-
1
3
b
，
CB
=
OB
-
OC
=-
1
3
a
+(t-
1
3
)
b
．由
CA
•
CB
=(
2
3
a
-
1
3
b
)•[-
1
3
a
+(t-
1
3
)
b
]＜0，解得t＞-
1
12
．又
CA
∥
CB
时，解得t=
1
2
．即可得到t的取值范围．
（2）利用数量积性质可得：f(x)=|
a
-
b
sinx|=
a
2+
b
2sin2x-2
a
•
b
sinx
=
(sinx+
1
2
)2+
3
4
，利用sinx和二次函数及其幂函数的单调性即可得出．
解答：解：（1）∵|
a
|=|
b
|=1且
a
与
b
夹角为120°．∴
a
•
b
=|
a
| |
b
|cos120°=-
1
2
．
CA
=
OA
-
OC
=
a
-
1
3
(
a
+
b
)=
2
3
a
-
1
3
b
，
CB
=
OB
-
OC
=t
b
-
1
3
(
a
+
b
)=-
1
3
a
+(t-
1
3
)
b
．
由
CA
•
CB
=(
2
3
a
-
1
3
b
)•[-
1
3
a
+(t-
1
3
)
b
]=-
2
9
a
+
2
3
(t-
1
3
)
a
•
b
+
1
9
a
•
b
-
1
3
(t-
1
3
)
b
2
=-
2
9
+
2
3
(t-
1
3
)×(-
1
2
)+
1
9
×(-
1
2
)-
1
3
(t-
1
3
)×1＜0，
化为12t＞-1，
解得t＞-
1
12
，
又
CA
∥
CB
时，解得t=
1
2
．
∴t的取值范围是(-
1
12
，
1
2
)∪(
1
2
，+∞)．
（2）f(x)=|
a
-
b
sinx|=
a
2+
b
2sin2x-2
a
•
b
sinx
=
sin2x+sinx+1
=
(sinx+
1
2
)2+
3
4
，
∵x∈[0，2π]，∴sinx∈[-1，1]．
当sinx=-
1
2
时，f(x)min=f(-
1
2
)=
3
2
；当sinx=1时，f(x)max=
3
．
∴f(x)∈[
3
2
，
3
]．
当x∈[
π
2
，
7π
6
]时，sinx∈[-
1
2
，1]，且f（x）在x∈[
π
2
，
7π
6
]上单调递减；
当x∈[
3π
2
，
11π
6
]时，sinx∈[-1，-
1
2
]，且f（x）在x∈[
3π
2
，
11π
6
]上单调递减．
综上可得：f（x）单调递减是[
π
2
，
7π
6
]∪[
3π
2
，
11π
6
]．
点评：本题考查了向量的运算法则、数量积运算、夹角公式、正弦函数的单调性、二次函数及其幂函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
给出以下四个命题：
①对任意两个向量
a
，
b
都有|
a
•
b
|=|
a
|•|
b
|；
②若
a
，
b
是两个不共线的向量，且
AB
=λ1
a
+
b
，
AC
=
a
+λ2
b
(λ1，λ2∈R)，则A、B、C共线?λ1λ2=-1；
③若向量
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，则
a
+
b
与
a
-
b
的夹角为90°；
④若向量
a
、
b
满足|
a
|=3，|
b
|=4，|
a
+
b
|=
13
，则
a
，
b
的夹角为60°．
以上命题中，错误命题的序号是
 
．
设a、b是两个不共线的非零向量（t∈R），记
OA
=a，
OB
=tb，
OC
=
1
3
(a+b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？
设
a
，
b
是两个不共线的非零向量，则“向量
a
-λ
b
与λ
a
-4
b
共线”是“λ=2”的（　　）
设
a
与
b
是两个不共线的向量，且向量
a
+λ
b
与-(
b
-2
a
)共线，则λ=
-0.5
-0.5
．
设
a
，
b
是两个不共线的向量，若
AB
=2
a
+k
b
，
CB
=
a
+3
b
，
CD
=2
a
-
b
，且A、B、D三点共线，则k=
-8
-8
．

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