题目内容

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，高为h（h＞2），动点M在侧棱BB₁上移动．设AM与侧面BB₁C₁C所成的角为θ．
（1）当 $数学公式$ 时，求点M到平面ABC的距离的取值范围；
（2）当 $数学公式$ 时，求向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 夹角的大小．

解：（1）设BC的中点为D，连接AD，DM，则有
$\text{[math]}$ ?AD⊥BC ①
BB₁⊥平面ABC?AD⊥BB₁ ②
由①②得AD⊥平面BB₁CC₁．
于是，可知∠AMD即为AM与侧面BCC₁所成角θ．
因为点M到平面ABC的距离为BM，设BM=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD= $\text{[math]}$ ．
由AD= $\text{[math]}$ ，DM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故tanθ= $\text{[math]}$ ．而当θ∈[ $\text{[math]}$ ]时．tanθ∈[ $\text{[math]}$ ，1]．
即 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 1?3≤1+4x²≤9? $\text{[math]}$ ≤x²≤2．
所以，点M到平面ABC的距离BM的取值范围是：[ $\text{[math]}$ ]．
（2）：当θ= $\text{[math]}$ 时，由第一问得BM= $\text{[math]}$ ．
故可得DM= $\text{[math]}$ ，AM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为α．
因为 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
=1×1×cos120°+0=- $\text{[math]}$ ．
所以cosα= $\text{[math]}$
故向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角大小为：π-arccos $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先设BC的中点为D，连接AD，DM，根据题中条件 $\text{[math]}$ 以及BB₁⊥平面ABC得到AD⊥平面BB₁CC₁．进而得到∠AMD即为AM与侧面BCC₁所成角θ；然后在Rt△ADM，利用角θ来求点M到平面ABC的距离的取值范围即可；
（2）先由第一问得BM= $\text{[math]}$ ；然后再把 $\text{[math]}$ 转化为 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 即可表示出向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的大小．
点评：本题主要考查点到面的距离以及求两个向量的夹角问题．解决第2问的关键在于把 $\text{[math]}$ 转化为 $\text{[math]}$ ，再代入求出 $\text{[math]}$ 的值，从而得到结论．