Question

13．如图：已知PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D，若PB=4，PD=3，AD=5，则DC=$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 延长BP到E，使PE=PB=4，连结AE，如图，则PE=PA，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可判断∠APB=2∠E，由于∠APB=2∠ACB，则∠E=∠C，于是可证明△ADE∽△BDC，然后利用相似比可计算出AD•CD的值，即可求出CD．

解答 解：延长BP到E使PE=PB=4，连结AE，如图，
∵PA=PB，
∴PE=PA，
∴∠1=∠E，
而∠APB=∠1+∠E，
∴∠APB=2∠E，
∵∠APB=2∠ACB，
∴∠E=∠C，
而∠ADE=∠CDB，
∴△ADE∽△BDC，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{ED}{CD}$，
∴AD•CD=BE•ED=（4+3）•（4-3）=7，
∵AD=5，
∴CD=$\frac{7}{5}$．
故答案为：$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决本题的关键是构建△ADE与△BDC相似．