Question

（本小题满分12分）如图，在矩形中，，又⊥平面，．
（Ⅰ）若在边上存在一点，使，
求的取值范围；
（Ⅱ）当边上存在唯一点，使时，
求二面角的余弦值．

Answer 1

解法1：（Ⅰ）如图，连，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有．
                                    ……2分
设，则，
在中，有．
在中，有．   ……4分
在中，有．
即，即．
∴．
故的取值范围为．                                      ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．                                                  
过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．
　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．
　　过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD．
　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．                          ……8分
在等腰直角三角形中，可求得，又，进而．
……10分
∴．
故二面角A－PD－Q的余弦值为．               ……12分

略