Question

（本小题14分）已知函数，．函数

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若当时，，求实数的取值范围；

（Ⅲ）如果是的极小值点， 是的一个零点且，求证：对于任意的，一定存在，使在处的切线与在处的切线平行．

Answer 1

（本小题14分）

解：（1）,则------1分

由则------------------------------------------------------------------------2分

	（-1，-）	-
	+	0	-	0	+

所以，的增区间为（-1，-）和，减区间为．---------4分

（Ⅱ）------------------------------5分

当时，则在上单调递增，

所以成立．      ------------------------------------7分

当时，由得，所以上递减，在

所以，则----9分

当时，由②知，

，则不成立．

由①②③知，的取值范围为   ------------------------------------11分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时无零点，当时，，当时，存在两个零点，则是函数较大的零点．

又，   ------------------------------------12分

所以 ，且

又，则问题可化为恒成立，

又，函数单调递减．

问题等价于即

又，所以上式成立．

所以原命题成立．   --------------------------------------------------14分