Question

【题目】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，记动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求直线与曲线围成的区域面积；

（2）点在直线上，点，过点作曲线的切线、，切点分别为、，证明：存在常数，使得，并求的值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案见解析。

【解析】试题分析：

（1）根据直接法求得曲线方程为，解方程组得到直线和曲线C的交点坐标，根据定积分可求得面积．（2）设、，结合题意求得切线的方程，根据切线方程的特点求出直线的方程，将直线的方程与联立消元后得到二次方程，根据根与系数的关系求得和后比较可得，从而得到结论．

试题解析：

（1） 设动圆圆心的坐标为，

由题意可得，

化简得，

故曲线的方程为．

由，解得或，

所以直线与曲线围成的区域面积为．

（2）设、，

则由题意得切线的方程为，切线的方程为，设点，

从而有，

所以可得直线AB的方程为

即．

由消去y整理得，

又，

所以，

所以，

故，

= ，

所以．

故存在常数，使得成立．