Question

【题目】已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的2倍。

（1）求点的轨迹方程；

（2）若点与点关于点对称，求,两点间距离的最大值。

（3）若过点的直线与点的轨迹相交于、两点，，则是否存在直线，使 取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1)；(2)14；(3)答案见解析.

【解析】试题分析：

（1）由题意结合点到直线距离公式可得关于x,y的等式，整理变形可得轨迹方程为，

（2）设，由对称性可得点Q的轨迹方程为圆，则 ；

（3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为，设，，，联立直线与圆的方程可得，满足题意时：.由点到直线距离公式结合圆的弦长公式可得，其中，据此可得满足题意时直线的斜率为，直线的方程为或.

试题解析：

（1）由已知，，

∴，即，

（2）设，因为点与点关于点对称，

则点坐标为，

∵点在圆上运动，∴点的轨迹方程为,

即：，

；

（3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为，且，，

则，

联立方程：，

∴，

又∵直线不经过点，则.

∵点到直线的距离，，

∴，

∵，

∴当时，取得最大值2，此时，，

∴直线的方程为或.