Question

【题目】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且短轴长为6.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)是否存在斜率为1的直线l，使得l与曲线C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）＋；（2）或.

【解析】

(1)根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得椭圆的标准方程，得到答案。

(2)设直线的方程为，联立方程组，利用判别式、根与系数的关系，以及＝0，列出方程求得的值，即可求解。

(1)由题意，椭圆的离心率为，且短轴长为，

所以，解得，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)假设存在符合题意的直线与椭圆交于两点，其方程为，

由，消去，化简得，

∵直线与椭圆交于两点，∴，

化简得，∴－，，

∵以线段为直径的圆恰到恰好经过原点，∴＝0，∴，

又，

，

解得，满足，

∴或，

故符合题意的直线l存在，方程为或.