Question

已知直线l过点（0，

5

4

），且斜率为

1

2

，抛物线C：y²=2px（p大于0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若

OA

．

OB

+P2=0（O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）先求得直线l的方程，进而可得到原点垂直于l的直线方程，然后联立两方程求得其交点坐标，即可得到P的值，从而可确定抛物线的方程．
（2）先假设A，B，N的坐标，根据

OA

•

OB

+p2=0可得到关于A，B坐标之间的关系，再由A，B两点均在抛物线上得到y₂²=4x₁，y₂²=4x₂即可得到y₁y₂的值，再表示出直线ON，结合y₂²=4x₁，y₂²=4x₂和y₁y₂=-8可得到点N的轨迹．

解答：解：（1）由题意可得直线l：y=

1

2

x+

5

4

①
过原点垂直于l的直线方程为y=-2x②
解①②得x=-

1

2

．∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
∴-

P

2

=-

1

2

×2，P=2∴抛物线C的方程为y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），由

OA

•

OB

+p2=0，得x₁x₂+y₁y₂+4=0．
又y₁²=4x₁，y₂²=4x₂．解得y₁y₂=-8③
直线ON：y=

y2

x2

x，即y=

4

y2

x④由③、④及y=y₁得，
点N的轨迹方程为x=-2（y≠0）．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合题，直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点也是热点问题，每年必考，平时要注意基础知识的积累和灵活运用．